جواب کاردرکلاس صفحه 14 ریاضی دوازدهم

حل تمرین کار در کلاس صفحه 14 ریاضی دوازدهم ### توابع اصلی و دامنه‌ها توابع داده شده: $f(x) = \frac{2}{x - 1}$ و $g(x) = \frac{3}{x}$. * **دامنه $f$:** $D_f = \mathbb{R} - \{1\}$ * **دامنه $g$:** $D_g = \mathbb{R} - \{0\}$ --- ## 1. تابع ترکیبی $f \circ g$ ### الف) ضابطه $f \circ g$ $$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$ $$(f \circ g)(x) = f(\frac{3}{x})$$ مقدار $\frac{3}{x}$ را به جای $x$ در ضابطه $f(x)$ قرار می‌دهیم: $$(f \circ g)(x) = \frac{2}{\frac{3}{x} - 1}$$ برای ساده‌سازی، مخرج کسر را مخرج مشترک می‌گیریم: $$(f \circ g)(x) = \frac{2}{\frac{3 - x}{x}} = 2 \times \frac{x}{3 - x}$$ $$\text{ضابطه: } (f \circ g)(x) = \frac{2x}{3 - x}$$ ### ب) دامنه $f \circ g$ دامنه $(f \circ g)(x)$ به صورت $D_{f \circ g} = \{ x \in D_g \mid g(x) \in D_f \}$ محاسبه می‌شود. 1. **شرط اول:** $x \in D_g$. $$x \ne 0$$ 2. **شرط دوم:** $g(x) \in D_f$. یعنی $g(x) \ne 1$ (مقادیر خروجی $g$ نباید برابر $1$ شود). $$\frac{3}{x} \ne 1 \implies x \ne 3$$ $$\text{دامنه: } D_{f \circ g} = \mathbb{R} - \{0, 3\}$$ **بررسی از روی ضابطه نهایی:** مخرج کسر نهایی $(f \circ g)(x) = \frac{2x}{3 - x}$ نیز در $x=3$ صفر می‌شود. با این حال، باید هر دو شرط دامنه توابع اصلی در نظر گرفته شود. بنابراین، $x=0$ نیز باید حذف شود. --- ## 2. تابع ترکیبی $f \circ f$ ### الف) ضابطه $f \circ f$ $$(f \circ f)(x) = f(f(x))$$ $$(f \circ f)(x) = f(\frac{2}{x - 1})$$ مقدار $\frac{2}{x - 1}$ را به جای $x$ در ضابطه $f(x)$ قرار می‌دهیم: $$(f \circ f)(x) = \frac{2}{(\frac{2}{x - 1}) - 1}$$ مخرج کسر را مخرج مشترک می‌گیریم: $$(f \circ f)(x) = \frac{2}{\frac{2 - (x - 1)}{x - 1}} = \frac{2}{\frac{2 - x + 1}{x - 1}} = \frac{2}{\frac{3 - x}{x - 1}}$$ $$ (f \circ f)(x) = 2 \times \frac{x - 1}{3 - x}$$ $$\text{ضابطه: } (f \circ f)(x) = \frac{2(x - 1)}{3 - x}$$ ### ب) دامنه $f \circ f$ دامنه $(f \circ f)(x)$ به صورت $D_{f \circ f} = \{ x \in D_f \mid f(x) \in D_f \}$ محاسبه می‌شود. 1. **شرط اول:** $x \in D_f$. $$x \ne 1$$ 2. **شرط دوم:** $f(x) \in D_f$. یعنی $f(x) \ne 1$. $$\frac{2}{x - 1} \ne 1 \implies 2 \ne x - 1 \implies x \ne 3$$ $$\text{دامنه: } D_{f \circ f} = \mathbb{R} - \{1, 3\}$$